1、推荐1,第讲h点第九讲 空间群(I)：点式空间群,2,复习：,点对称操作、7种晶系、式空32种点群、间群14种布拉菲格子,推荐3,360o/n (n = 1,2,3,4,6),1 (E, L1),2 (C2, L2),3 (C3, L3),4 (C4, L4),6 (C6, L6),旋转轴， n,第讲h点点对称操作,4,1 (E),2 (C2),3 (C3),4 (C4),6 (C6),1 (i),2 (), m,3 (S65),4 (S43),6 (S35),(C41, C42, C43, C44 ),(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ),(C31, C32, C33),(h, v, d),点对
2、称操作,式空!,(C21, C22),5,对称条件,晶系,特点,四个三次轴,三 斜,单 斜,正 交,四 方,三 方,六 方,立 方,a b c, ,abc, = = 90o,abc, = = = 90o,a = bc, = = = 90o,a = bc, = = 90o, = 120o,a = b = c, = = = 90o,a = b = c, = = 菱形,a = bc, = = 90o, = 120o,全对称点群,2/m,mmm,4/mmm,6/mmm,m3m,6,点群各符号的顺序,晶系,在 国 际 符 号 中 的 位 置,1,2,3,三斜,单斜,正交,四方,三方,六方,立方,只用一个符号
3、,间群第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴,7,8,从旋转点群推导32种点群 点群的熊夫利斯符号,11种纯旋转群：,1 2 3 4 6,222 32 422 622,23 432,C1 C2 C3 C4 C6,D2 D3 D4 D6,T O,循环点群,二面体点群,立方点群,11种中心对称点群：,m3 m3m,S2 C2h S6 C4h C6h,D2h D3d D4h D6h,Th Oh,mmm 3m 4/mmm 6/mmm,10种新子群：,C1h S4 C3h,C2v C3v C4v D2d C6v D3h,Td,m,mm2,4,6,3m,4mm 42m,43m,6mm 6m2,9,推导
4、32种点群的推荐熊夫利斯方案 熊夫利斯符号,五种循环群 Cn (5 种),Cnh = Cn E, h (5 种),Cnv = Cn E, v (4 种, C1v = C1h),非真旋转 Sn (3 种，n =2,第讲h点 4, 6),Dn = Cn E, C2100 (4 种),Dnh = Cnh E, d (4 种),Dnd = S2n E, C2100 (n =2, 3 共2种),立方点群(无主轴）5 种: T, Th, Td, O, Oh,10,1(C1),m (C1h),2(C2),2/m (C2h),222(D2),mm2 (C2v),mmm (D2h),422 (D4),4/mmm(D4h),
5、4mm (C4v),式空4/m (C4h),4(C4),622 (D6),6/mmm (D6h),6mm (C6v),6/m (C6h),6(C6),23(T),m3 (Th),432 (O),m3m (Oh),3(C3),3m (C3v),32(D3),32种点群符号,11,T,Th,Td,O,Oh,12,13,第八讲 14种布拉菲格子,旋转对称性,晶系、参考轴初基P单胞 (6),间群有心化,新的点阵(有心 8 种),满足点阵条件 + 晶系不变,P点阵中高对称位置加心(体心I, 全面心F, 单面心A, B或C 双面心),14种布拉菲点阵,旋转对称性,14,A,B,双面心不满足点阵条件！,推荐15,三斜晶
6、系,第讲h点单斜晶系,三斜 P,单斜 P,单斜 B,单斜 C = P,不是新点阵,单斜 B = I = F = A,b轴为唯一轴:B = P，C = I = F = A,式空16,正交 P,正交 C,正交 I,正交 F,正交晶系,正交 C = A = B P ?,17,立方 P,立方 I, bcc,立方 F, fcc,四方 I,四方 P,四方晶系,立方晶系,四方 C = P A B,四方 F = I,单面心破坏4个3次对称性！非点阵,非点阵,18,六方晶系,三方菱形晶系,六方 P,三方 R,底面心：正交,侧面心：非点阵,体心：非六方点阵,+c/2,(1/3, 2/3, 0)：P,+2c/3,+c/3,(1
7、/3, 2/3, 2/3)：R,有心化,(1/3, 2/3, 1/3)：R,19,六角单胞有心化后，已不具有6次对称性，却导出有3次对称性的菱形初基单胞。R 点阵可由两种轴系表示：R晶系、六角晶系,a = bc, = = 90o, = 120o,a = b = c, = = 菱形,R单胞有心化,面心,体心,R单胞只有P格子,不同轴长和轴间角,20,21,22,第九讲 点式空间群,空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物体（无限大晶体）自身重复的几何对称对称操作的集合，构成数学意义上的群。,晶体宏观对称性是晶体结构（原子排列对称性）即微观对称的反映。 晶体的宏观外形是作为一个连续整体来看的有限
8、图形，而晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开。 宏观对称性的点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。,23,点式空间群：由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。 螺旋轴或滑移面不是其基本对称元素。 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与空间群点群相同的位置对称性,24,晶系,点群,布拉菲点阵,73种点式空间群,三 斜,单 斜,正 交,四 方,三 方,六 方,立 方,P,P,P,P,P,P,P,1,1,m,2,2/m,222,mm2,mmm,42m,4,422,4/
9、mmm,4mm,4/m,4,3m,3,3m,32,3,622,6/mmm,6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m,43m,P1,P1,Pm,P2,P2/m,P222,Pmm2,Pmmm,P42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3m,P43m,Bm,B2,B2/m,C222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,Immm,F222,Fmm2,Fmmm,Amm2,B,C,I,F,I,P4m2,I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2,R,R3m,
10、R3,R3m,R32,R3,P321,P3m1,P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62m,I,F,I23,Im3,I432,Im3m,I43m,F23,Fm3,F432,Fm3m,F43m,25,30o,45o,26,3 (L3),3m (L33P),32 (L33L2),3 (L3C),3m1,31m,321,312,27,晶系,点群,布拉菲点阵,73种点式空间群,三 斜,单 斜,正 交,四 方,三 方,六 方,立 方,P,P,P,P,P,P,P,1,1,m,2,2/m,222,mm2,mmm,42m,4,422,4/mmm,4mm,4/m,4,3
11、m,3,3m,32,3,622,6/mmm,6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m,43m,P1,P1,Pm,P2,P2/m,P222,Pmm2,Pmmm,P42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3m,P43m,Bm,B2,B2/m,C222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,Immm,F222,Fmm2,Fmmm,Amm2,B,C,I,F,I,P4m2,I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2,R,R3m,R3,R3m,R32,R3,P
12、321,P3m1,P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62m,I,F,I23,Im3,I432,Im3m,I43m,F23,Fm3,F432,Fm3m,F43m,28,非点式对称操作, 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65 滑移面：a、b、c；n；d,点对称操作：r = Rr r=xa + yb +zc r=xa + yb +zc,空间群操作：r = R|tr = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于点式操作t = = 0 = tN,29,P1,a,b,c,30,31,P2,32,P2/m,反映面，镜面,33,Pm,34,Bm,1/4,单斜 B,滑移面,35,Cm,Bm,1/4,滑移面,36,P222,3
